高等数学笔记：泰勒展开求解渐近线

泰勒展开求解渐近线

一、水平渐近线

01 概念定义

若 lim⁡x→∞f(x)=A\lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x)=Ax→∞lim​f(x)=A，则称 y=Ay=Ay=A 是 f(x)f(x)f(x) 的水平渐近线。

02 理解点拨

命题 lim⁡x→−∞f(x)=A\lim \limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)=Ax→−∞lim​f(x)=A 及 lim⁡x→+∞f(x)=A\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=Ax→+∞lim​f(x)=A 之一成立就称 y=Ay=Ay=A 是 f(x)f(x)f(x) 的水平渐近线

如 y=arctan⁡xy=\arctan xy=arctanx，由于 lim⁡x→−∞arctan⁡x=−π2,lim⁡x→+∞arctan⁡x=π2\lim \limits_{x \rightarrow-\infty} \arctan x=-\frac{\pi}{2}, \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \arctan x=\frac{\pi}{2}x→−∞lim​arctanx=−2π​,x→+∞lim​arctanx=2π​，

故称 y=−π2y=-\frac{\pi}{2}y=−2π​ 为 x→−∞x \rightarrow-\inftyx→−∞ 的水平渐进线, y=π2y=\frac{\pi}{2}y=2π​ 为 x→−∞x \rightarrow-\inftyx→−∞ 的水平渐进线。

二、铅直渐近线

01 概念定义

若 lim⁡x→x0f(x)=∞\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\inftyx→x0​lim​f(x)=∞，则称 x=x0x=x_{0}x=x0​ 是 f(x)f(x)f(x) 的铅直渐近线。

02 理解点拨

上面的极限过程 x→x0x \rightarrow x_{0}x→x0​ 换成 x→x0+x \rightarrow x_{0^{+}}x→x0+​或 x→x0−x \rightarrow x_{0^{-}}x→x0−​；

x→∞x \rightarrow \inftyx→∞ 换成 x→+∞x \rightarrow+\inftyx→+∞ 或 x→−∞x \rightarrow-\inftyx→−∞ 结论也成立。

曲线的铅直渐进线对应函数的无穷间断点，若函数没有无穷间断点，则曲线没有铅直渐近线。

三、斜渐近线

01 概念定义

若 lim⁡x→∞f(x)x=k≠0\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=k \neq 0x→∞lim​xf(x)​=k=0，且 lim⁡x→∞(f(x)−kx)=b\lim \limits_{x \rightarrow \infty}(f(x)-k x)=bx→∞lim​(f(x)−kx)=b，则 y=kx+by=k x+by=kx+b 为 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 的斜渐近线。

02 理解点拨

若上面的极限过程 x→∞x \rightarrow \inftyx→∞ 同时换成 x→+∞x \rightarrow+\inftyx→+∞ 或同时 x→−∞x \rightarrow-\inftyx→−∞ 结论也成立。

03 解释评注

由水平渐近线和斜渐近线的定义可知，xxx 的同一变化过程中，水平渐近线和斜渐近线不同时存在，但不在同一个过程下，两者可以共存。

由斜渐近线的定义有 b=lim⁡x→∞(f(x)−kx)⇔f(x)=kx+b+α(x)b=\lim \limits_{x \rightarrow \infty}(f(x)-k x) \Leftrightarrow f(x)=k x+b+\alpha(x)b=x→∞lim​(f(x)−kx)⇔f(x)=kx+b+α(x)，

其中 lim⁡x→∞α(x)=0\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \alpha(x)=0x→∞lim​α(x)=0，即若 f(x)f(x)f(x) 可写成上述形式，则 y=kx+by=k x+by=kx+b 为一条斜渐近线。

四、求解方法

第一步：先找到 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 无定义的点或区间端点 x0x_{0}x0​，若 x0x_{0}x0​ 为无穷间断点，可得 x=x0x=x_{0}x=x0​ 为铅直浙近线。

第二步：计算 lim⁡x→+∞f(x)\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)x→+∞lim​f(x)，或 lim⁡x→−∞f(x)\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)x→−∞lim​f(x) 看极限是否存在，若存在，则 y=lim⁡x→−∞f(x)y=\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)y=x→−∞lim​f(x)，y=lim⁡x→+∞f(x)y=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)y=x→+∞lim​f(x) 为水平渐近线。

第三步：若某过程下水平渐近线存在，则该过程下的斜渐近线不存在。若某过程下无水平渐近线，再考虑该过程下的斜渐近线。

提马归幂，k,bk,bk,b 分离，常 kkk 极 bbb

斜存在时，分子比分母天然高一阶

注：求 bbb 一定要出现 1x\frac1xx1​，哪怕约掉或利用 b=lim⁡x→∞(f(x)−kx)b=\lim \limits_{x \rightarrow \infty}(f(x)-k x)b=x→∞lim​(f(x)−kx)

五、例题集合

【例 1】曲线 y=1x+ln⁡(1+ex)\displaystyle{ y=\frac{1}{x}+\ln \left(1+e^{x}\right) }y=x1​+ln(1+ex) 的渐近线为

【例 2】曲线 y=(2x−1)e1x\displaystyle{ y=(2x-1)e^{\frac1x} }y=(2x−1)ex1​ 的斜渐近线方程为

【例 3】曲线 y=x22x+1\displaystyle{ y=\frac{x^2}{2x+1} }y=2x+1x2​ 的斜渐近线方程为

【例 4】曲线 y=x∣x∣1+x\displaystyle{ y=\frac{x|x|}{1+x} }y=1+xx∣x∣​ 的斜渐近线方程为

【例 5】曲线 y=x31+x2+arctan⁡(1+x2)\displaystyle{ y=\frac{x^{3}}{1+x^{2}}+\arctan \left(1+x^{2}\right) }y=1+x2x3​+arctan(1+x2) 的斜渐近线方程为

【例 6】曲线 y=x3(x−1)2+x2(e1x−1)\displaystyle{ y=\frac{x^{3}}{(x-1)^{2}}+x^{2}(e^{\frac{1}{x}}-1) }y=(x−1)2x3​+x2(ex1​−1) 的非铅直渐近线方程为

【例 7】曲线 y=x(1+arcsin⁡2x)\displaystyle{ y=x(1+\arcsin \frac{2}{x}) }y=x(1+arcsinx2​) 的斜渐近线方程为

【例 8】曲线 y=x1+x(1+x)x\displaystyle{ y=\frac{x^{1+x}}{(1+x)^x} }y=(1+x)xx1+x​ 的斜渐近线方程为

【例 9】(12年1,2,3)(12年1,2,3)(12年1,2,3) 求曲线 y=x2+1x−1\displaystyle{ y=\frac{x^{2}+1}{x-1} }y=x−1x2+1​ 渐近线

【例10】(00年2)(00年2)(00年2) 曲线 y=(2x−1)e1x\displaystyle{ y=(2 x-1) e^{\frac{1}{x}} }y=(2x−1)ex1​ 的斜渐近线方程为

【例11】求曲线 y=x2+1x+1e1x−1\displaystyle{ y=\frac{x^{2}+1}{x+1} e^{\frac{1}{x-1}} }y=x+1x2+1​ex−11​ 的渐近线

【例12】(05年1)(05年1)(05年1) 曲线 y=x22x+1\displaystyle{ y=\frac{x^{2}}{2 x+1} }y=2x+1x2​ 的斜渐近线方程为

【例13】(05年2)(05年2)(05年2) 曲线 y=(1+x)32x\displaystyle{ y=\frac{(1+x)^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}} }y=x​(1+x)23​​ 的斜渐近线方程为

【例14】(10年2)(10年2)(10年2) 曲线 y=2x3x2+1\displaystyle{ y=\frac{2 x^{3}}{x^{2}+1} }y=x2+12x3​ 的渐近线方程为

【例15】(16,2)(16,2)(16,2) 曲线 y=x31+x2+arctan⁡(1+x2)\displaystyle{ y=\frac{x^{3}}{1+x^{2}}+\arctan \left(1+x^{2}\right) }y=1+x2x3​+arctan(1+x2) 的斜渐近线方程为

【例16】曲线 y=x2+1x2−1\displaystyle{ y=\frac{x^{2}+1}{\sqrt{x^{2}-1}} }y=x2−1​x2+1​ 的斜渐近线方程为

【例17】求曲线 y=xarctan⁡xy=x\arctan xy=xarctanx 的斜渐近线